2026考研数学高等数学核心公式汇总

## 一、极限与连续

### 1.1 极限的定义

- $\lim_{x \to a} f(x) = L$：当 $x$ 趋近于 $a$ 时，$f(x)$ 趋近于 $L$
- 左极限：$\lim_{x \to a^-} f(x)$
- 右极限：$\lim_{x \to a^+} f(x)$

### 1.2 重要极限

1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
2. $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
3. $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$

### 1.3 等价无穷小（$x \to 0$）

- $\sin x \sim x$
- $\tan x \sim x$
- $\arcsin x \sim x$
- $\arctan x \sim x$
- $\ln(1 + x) \sim x$
- $e^x - 1 \sim x$
- $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
- $(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$

## 二、导数与微分

### 2.1 基本导数公式

| 函数 | 导数 |
|------|------|
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arctan x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ |

### 2.2 求导法则

- **链式法则**：$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
- **乘积法则**：$(uv)' = u'v + uv'$
- **商法则**：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

## 三、积分

### 3.1 基本积分公式

- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
- $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$
- $\int \sin x dx = -\cos x + C$
- $\int \cos x dx = \sin x + C$
- $\int e^x dx = e^x + C$
- $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C$
- $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$

### 3.2 积分方法

1. **换元积分法**：$x = \varphi(t)$，$dx = \varphi'(t)dt$
2. **分部积分法**：$\int u dv = uv - \int v du$
3. **有理函数积分**：部分分式分解

## 四、级数

### 4.1 常数项级数

- **p-级数**：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$，$p>1$ 收敛，$p \leq 1$ 发散
- **几何级数**：$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$，$|r|<1$ 收敛
- **交错级数**：莱布尼茨判别法

### 4.2 幂级数

- 收敛半径：$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$
- 常见展开：
  - $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
  - $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
  - $\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
  - $\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad (|x|<1)$

## 五、典型例题

### 例题 1：求极限

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x}$$

**解**：利用等价无穷小，$\sin 3x \sim 3x$，$\tan 2x \sim 2x$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$$

### 例题 2：求积分

$$\int x e^x dx$$

**解**：使用分部积分法，令 $u = x$，$dv = e^x dx$

$$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x (x - 1) + C$$

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> **使用边界**：本文是高等数学公共主干的学习笔记，不代表数学一、二、三的完整考试范围。请先按目标专业目录确认科目代码，再用当年度考试大纲筛选章节；不要把本文当作官方大纲或完整真题资料。